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征服赛制是炉石传说沿用已久的赛制。本文以征服 2 赛制和征服 3 赛制为例,分析了卡组阵容(lineup)和排阵对胜率的影响。并在文末提供了一个模拟程序供大家评估 lineup 和排阵的影响。

征服 2 赛制

假设我和对手的卡组对阵胜率如下:

  对手卡组 Z 对手卡组 W
我的卡组 X $a$ $b$
我的卡组 Y $c$ $d$

如果我首发卡组 X,对手首发卡组 Z(记为 X↔Z),那么我赢下第一局的概率是 $a$,赢下第一局后只要卡组 Y 赢下卡组 Z 或卡组 W 就能获胜,概率为 $c+d-cd$;我输掉第一局的概率为 $1-a$,我的卡组 X 和卡组 Y 必须都战胜卡组 W,概率为 $bd$。因此我综合获胜的概率为

首发卡组 X 和卡组 Z 获胜概率(①式)

将①式作字母替换,可得

其它出阵顺序获胜概率

化简之后可以发现,$P(X↔Z)=P(Y↔W)$,$P(X↔W)=P(Y↔Z)$,因此很容易求得纳什均衡解为首发任意卡组的概率均为 1/2。因此得出结论:

征服2的最优排阵策略是等概率随机排阵。

(会有人比赛带硬币吗)

应用这个策略后,征服 2 赛制总的获胜概率为

征服 2 赛制获胜概率(②式)

下面举一个实例来分析②式的意义。假设我带了两套风格不同且比较极端的卡组 X 和 Y,而对手的某套卡组 Z 被我的卡组 Y 克制,但我的卡组 X 被对手的卡组 Z 克制,而对手的另一套卡组是一套平庸的,强度也不是特别高的卡组 W,对阵胜率假设如下(单位:%):

  对手卡组 Z 对手卡组 W
我的卡组 X 30 52
我的卡组 Y 70 52

看上去对手卡组 Z 打我的两套卡组综合看上去是五五开,我的两套卡组打对手卡组 W 都是小优,直觉上看我应该有优势才对?然而将数据代入②式,计算得出我的胜率是 49.6%,小于 50%,我竟然是劣势的!原因在于虽然 (a + c) / 2 仍然维持了 50%,但②式中占比较大的 2ac 一项却变小了,导致我的综合胜率变低了。因此得出结论:

风格不同的卡组将导致胜率下降。

因此我们有几种可行的 lineup 策略可以选择:

  • 直接带两套最强卡组(相信其本身的高强度能弥补风格差异带来的胜率损失)
  • 带两套风格一致的极端卡组(赌自己不会被抓)
  • 带两套万金油卡组(消除风格差异,前提是卡组强度不能过低)
  • 带两套会玩的/合得起的卡组

征服 3 赛制

由于征服 3 赛制的计算太过复杂,所以我直接写了个 JavaScript 模拟程序来估计胜率。还有一种可能的做法是使用求纳什均衡解,用数值方法获得结果,但是因为有点麻烦所以我就没那么写。我的模拟程序做了以下假设:

  1. 输了的人不会换卡组
  2. 对手是纯随机排阵

虽然上述假设与实际不符,会损失一些解的质量,但是应该影响不太大。经过一些测试,可以发现排阵顺序对胜率存在影响,而且胜率只和哪个卡组放在中间出阵有关系。对于应该将哪个卡组放在中间我也没发现什么特别的规律,如果你知道这背后的数学原理,欢迎留言告诉大家。

附件

本文的最后我将用到的模拟程序链接放在下方,卡组对阵胜率可以到Hearthstone Meta - HSReplay.net获取。但你应该特别注意单卡替换所带来的影响,并对胜率做出一些估计和调整。对于比赛 lineup 和排阵有兴趣的同学不妨尝试使用一下,相信它会对你提交卡组和排兵布阵带来一些帮助。

模拟程序 Demo

源代码